Perhaps the prettiest number system of all is the balanced ternary notation.
Donald E. Knuth
Contando em ternário
Sabemos que, no sistema numérico decimal, contamos da seguinte maneira:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 …
O funcionamento do sistema de contagem ternário é similar ao do convencional sistema de contagem decimal. A diferença é que o sistema numérico ternário oferece apenas três cifras (0, 1 e 2), em contraste ao sistema decimal, que dispõe dez (0, 1, 2, … , 9). Vejamos como se configura uma contagem ternária:
1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100…
Números de 1 a 10 em ternário, binário e decimal:
Ternário | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 | 101 |
Binário | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 |
Decimal | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Potências de 3:
Ternário | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
Decimal | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 |
Potência | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 |
Convertendo números inteiros
No fundo, os sistemas numéricos são todos similares. Numerais em várias bases podem parecer diferentes, mas representam os mesmos números. Em notação decimal, o numeral 19 pode ser representado como:
$$1×10^1+9×10^0$$
Na mesma linha, o número binário 10011 é entendido como:
$$1×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0$$
Finalmente, podemos representar o número ternário, digamos, 201, como:
$$2×3^2+0×3^1+1×3^0$$
Exemplo: 23710 para base 3.
237/3 = 79, r = 0
79/3 = 26, r = 1
26/3 = 8, r = 2
8/3 = 2, r = 2
Resultado: 222103
Exemplo: 50010 para base 3.
500/3 = 166 , r = 2
166/3 = 55, r = 1
55/3 = 18, r = 1
18/3 = 6, r = 0
6/3 = 2, r = 0
Resultado: 2001123
Exemplo: 48210 para base 3.
482/3 = 160 , r = 2
160/3 = 53, r = 1
53/3 = 17, r = 2
17/3 = 5 r = 2
5/3 = 1, r = 2
Resultado: 1222123
Convertendo frações
O sistema ternário oferece uma maneira conveniente de representar 1/3, mas, em contraste, não oferece uma representação finita para 1/2, nem para 1/4, nem para 1/8… Isso ocorre pois o número 2 não é um fator primo da base (3).
Denominadores potências de 3
Quando uma fração irredutível p10/q10 tem denominador q10 que possa ser escrito na forma 3n, a divisão a3/b3, onde a3 e b3 são respectivamente as representações de p10 e q10 na base 3, pode ser computada numa calculadora decimal.
Exemplo:
$$(\frac{1}{27})_{10} = (\frac{1}{3^3})_{10}$$
Convertendo o numerador e o denominador para base 3, obtemos 1/1000. Utilizando uma calculadora decimal para efetuar a divisão obtemos 1/1000=0,001. Portanto,
$$(\frac{1}{27})_{10} = (0,001)_{3}.$$
Exemplo:
$$(\frac{482}{81})_{10} = (\frac{482}{3^4})_{10}$$
Convertendo o numerador e o denominador para base 3, obtemos 122212/10000. Utilizando uma calculadora decimal para efetuar a divisão obtemos 122212/10000=12,2212. Portanto,
$$(\frac{482}{81})_{10}=(12,2212)_3.$$
Demais casos
Lembremo-nos, do sistema numérico decimal, que 5/8 = 0,625 significa dizer que
$$\frac{5}{8}=6\frac{1}{10} + 2\frac{1}{100} + 5\frac{1}{1000}.$$
Assim, para converter uma fração a/b para o sistema ternário devemos determinar os coeficientes c1, c2, c3… tais que
$$\frac{a}{b}=c_{1}\frac{1}{3}+c_{2}\frac{1}{3^2} + c_{3}\frac{1}{3^3}+\dots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_n}{3^n}$$
Para determinar c1, multiplicamos a equação acima por 3, obtendo
$$\frac{3a}{b} = c_{1} + c_{2}\frac{1}{3} + c_{3}\frac{1}{3^2}+\dots$$
Podemos reescrever 3a como qb + r sendo q o quociente e r o resto da divisão de 3a por b. O quociente qb/b=q será igual a c1, enquanto r/b igual à parte fracionária da soma, i.e.,
$$\frac{r}{b} = c_{2}\frac{1}{3} + c_{3}\frac{1}{3^2}+\dots$$
Daí, podemos multiplicar a equação acima por 3 novamente e repetir o processo até que ele se dê por terminado ou inicie uma repetição infinita, configurando uma dízima periódica.
Exemplo: Computando 5/8 da base 10 para a base 3.

A representação na base 3 advém dos quocientes, então temos como resposta a representação
$$0,\bar{12}_{3}$$
Aritmética ternária
A aritmética decimal não pode ser transportada diretamente para o universo ternário. Observe que 2 + 2 = 4 no sistema decimal, mas 2 + 2 = 11 no sistema ternário (410 = 113). É claro que 2 + 2 no sistema ternário nunca poderia ser 4, até porque não dispomos da cifra 4 no sistema numérico ternário. O mesmo vale para a multiplicação: 3 × 3 = 9 no sistema decimal, mas 3 × 3 = 100 no sistema ternário (910 = 1003). Como, então, somar e multiplicar números na base 3?
Adição ternária
As regras para a adição ternária podem ser conferidas na seguinte tabela:
Augend | Addend | Soma | Carregamento | Resultado |
0 | 0 | 0 | 0 | 00 |
0 | 1 | 1 | 0 | 01 |
0 | 2 | 2 | 0 | 02 |
1 | 1 | 2 | 0 | 02 |
1 | 2 | 0 | 1 | 10 |
2 | 2 | 1 | 1 | 11 |
A tabela acima dispõe todas as somas possíveis entre as cifras existentes no sistema ternário (0, 1 e 2) e pode ser construída simplesmente por meio da contagem. Para resolver uma adição ternária podemos nos utilizar do mesmo dispositivo de soma longa utilizado convencionalmente no sistema decimal. A vantagem do dispositivo é viabilizar a computação de uma soma entre vários números compostos por várias cifras a partir de somas entre números de apenas uma cifra. Como, da tabela acima, sabemos todos os resultados possíveis de somas entre dois números de uma cifra do sistema ternário, podemos utilizá-la conjuntamente ao dispositivo de soma para computar somas mais complexas. Observe:
Consideremos a soma 6410 + 4810 = 11210. Da seção Convertendo números inteiros podemos concluir que 6410 = 021013 e 4810 = 012103. Então, devemos computar a soma 021013 + 012103.

Daí temos o resultado: 110113 = 11210.
Produto ternário
A tabela abaixo apresenta as regras para produtos ternários.
Multiplicando | Multiplicador | Produto | Carregamento | Resultado |
0 | 0 | 0 | 0 | 00 |
0 | 1 | 0 | 0 | 00 |
0 | 2 | 0 | 0 | 00 |
1 | 1 | 1 | 0 | 01 |
1 | 2 | 2 | 0 | 02 |
2 | 2 | 1 | 1 | 11 |
Para efetuar produtos ternários podemos também utilizar o dispositivo de multiplicação convencionalmente utilizado para efetuar multiplicações decimais. Vejamos um exemplo.
Exemplo: (15)10 × (11)10 = (120)3 × (102)3

Resultado: (20010)3 = (165)10
Tabela de multiplicação
× | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
1 | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
2 | 2 | 11 | 20 | 22 | 101 | 110 | 112 | 121 | 200 |
10 | 10 | 20 | 100 | 110 | 120 | 200 | 210 | 220 | 1000 |
11 | 11 | 22 | 110 | 121 | 202 | 220 | 1001 | 1012 | 1100 |
12 | 12 | 101 | 120 | 202 | 221 | 1010 | 1022 | 1111 | 1200 |
20 | 20 | 110 | 200 | 220 | 1010 | 1100 | 1120 | 1210 | 2000 |
21 | 21 | 112 | 210 | 1001 | 1022 | 1120 | 1211 | 2002 | 2100 |
22 | 22 | 121 | 220 | 1012 | 1111 | 1210 | 2002 | 2101 | 2200 |
100 | 100 | 200 | 1000 | 1100 | 1200 | 2000 | 2100 | 2200 | 10000 |
Observe que os produtos ternários que envolvem o número 10 coincidem com os produtos decimais. Isso significa que uma calculadora no sistema decimal, quando efetua multiplicações ou divisões por 10, retorna resultados válidos também para o sistema ternário. Por exemplo, 1/10 = 0,1 tanto no sistema decimal quanto no sistema ternário, já 1/2=0,5 no sistema decimal mas 1/2 = 0,111… no sistema ternário. Para dar um exemplo de produto, temos que 12 × 10 = 120 tanto no sistema decimal quanto no sistema ternário, mas 2 × 2 = 4 no sistema decimal enquanto 2 × 2 = 11 no sistema ternário. A lição que tiramos daí é que podemos utilizar a calculadora convencional para calcular produtos e divisões por potências de 10 (maiores que zero) de números ternários, mas não para a maioria dos demais casos.
× | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
1 | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
2 | 2 | 11 | 20 | 22 | 101 | 110 | 112 | 121 | 200 |
10 | 10 | 20 | 100 | 110 | 120 | 200 | 210 | 220 | 1000 |
11 | 11 | 22 | 110 | 121 | 202 | 220 | 1001 | 1012 | 1100 |
12 | 12 | 101 | 120 | 202 | 221 | 1010 | 1022 | 1111 | 1200 |
20 | 20 | 110 | 200 | 220 | 1010 | 1100 | 1120 | 1210 | 2000 |
21 | 21 | 112 | 210 | 1001 | 1022 | 1120 | 1211 | 2002 | 2100 |
22 | 22 | 121 | 220 | 1012 | 1111 | 1210 | 2002 | 2101 | 2200 |
100 | 100 | 200 | 1000 | 1100 | 1200 | 2000 | 2100 | 2200 | 10000 |
Leituras complementares
[1] Ternary Digital System: Concepts and Applications , A. P. Dhande, V. T. Ingole & V. R. Ghiye.
[2] Third Base, by Brian Hayes