Algumas notas sobre o sistema numeral ternário e sua aritmética

Números de 1 a 10 em ternário, binário e decimal:

Ternário	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101
Binário	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010
Decimal	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Potências de 3:

Ternário	1	10	100	1000	10000
Decimal	1	3	9	27	81
Potência	30	31	32	33	34

Convertendo números inteiros

No fundo, os sistemas numéricos são todos similares. Numerais em várias bases podem parecer diferentes, mas representam os mesmos números. Em notação decimal, o numeral 19 pode ser representado como: 

$$1×10^1+9×10^0$$

Na mesma linha, o número binário 10011 é entendido como: 

$$1×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0$$

Finalmente, podemos representar o número ternário, digamos, 201, como: 

$$2×3^2+0×3^1+1×3^0$$

Convertendo frações

O sistema ternário oferece uma maneira conveniente de representar 1/3, mas, em contraste, não oferece uma representação finita para 1/2, nem para 1/4, nem para 1/8… Isso ocorre pois o número 2 não é um fator primo da base (3).

Denominadores potências de 3

Quando uma fração irredutível p₁₀/q₁₀ tem denominador q₁₀ que possa ser escrito na forma 3ⁿ, a divisão a₃/b₃, onde a₃ e b₃ são respectivamente as representações de p₁₀ e q₁₀ na base 3, pode ser computada numa calculadora decimal.

Exemplo: 

$$(\frac{1}{27})_{10} = (\frac{1}{3^3})_{10}$$

Convertendo o numerador e o denominador para base 3, obtemos 1/1000. Utilizando uma calculadora decimal para efetuar a divisão obtemos 1/1000=0,001. Portanto, 

$$(\frac{1}{27})_{10} = (0,001)_{3}.$$

Exemplo:

$$(\frac{482}{81})_{10} = (\frac{482}{3^4})_{10}$$

Convertendo o numerador e o denominador para base 3, obtemos 122212/10000. Utilizando uma calculadora decimal para efetuar a divisão obtemos 122212/10000=12,2212. Portanto, 

$$(\frac{482}{81})_{10}=(12,2212)_3.$$

Demais casos

Lembremo-nos, do sistema numérico decimal, que 5/8 = 0,625 significa dizer que 

$$\frac{5}{8}=6\frac{1}{10} + 2\frac{1}{100} + 5\frac{1}{1000}.$$

Assim, para converter uma fração a/b para o sistema ternário devemos determinar os coeficientes c₁, c₂, c₃… tais que

$$\frac{a}{b}=c_{1}\frac{1}{3}+c_{2}\frac{1}{3^2} + c_{3}\frac{1}{3^3}+\dots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_n}{3^n}$$

Para determinar c₁, multiplicamos a equação acima por 3, obtendo

$$\frac{3a}{b} = c_{1} + c_{2}\frac{1}{3} + c_{3}\frac{1}{3^2}+\dots$$

Podemos reescrever 3a como qb + r sendo q o quociente e r o resto da divisão de 3a por b. O quociente qb/b=q será igual a c₁, enquanto r/b igual à parte fracionária da soma, i.e.,

$$\frac{r}{b} = c_{2}\frac{1}{3} + c_{3}\frac{1}{3^2}+\dots$$

Daí, podemos multiplicar a equação acima por 3 novamente e repetir o processo até que ele se dê por terminado ou inicie uma repetição infinita, configurando uma dízima periódica.

Exemplo: Computando 5/8 da base 10 para a base 3.

A representação na base 3 advém dos quocientes, então temos como resposta a representação 

$$0,\bar{12}_{3}$$

Aritmética ternária

A aritmética decimal não pode ser transportada diretamente para o universo ternário. Observe que 2 + 2 = 4 no sistema decimal, mas 2 + 2 = 11 no sistema ternário (4₁₀ = 11₃). É claro que 2 + 2 no sistema ternário nunca poderia ser 4, até porque não dispomos da cifra 4 no sistema numérico ternário. O mesmo vale para a multiplicação: 3 × 3 = 9 no sistema decimal, mas 3 × 3 = 100 no sistema ternário (9₁₀ = 100₃). Como, então, somar e multiplicar números na base 3?

Adição ternária

As regras para a adição ternária podem ser conferidas na seguinte tabela:

Augend	Addend	Soma	Carregamento	Resultado
0	0	0	0	00
0	1	1	0	01
0	2	2	0	02
1	1	2	0	02
1	2	0	1	10
2	2	1	1	11

A tabela acima dispõe todas as somas possíveis entre as cifras existentes no sistema ternário (0, 1 e 2) e pode ser construída simplesmente por meio da contagem. Para resolver uma adição ternária podemos nos utilizar do mesmo dispositivo de soma longa utilizado convencionalmente no sistema decimal. A vantagem do dispositivo é viabilizar a computação de uma soma entre vários números compostos por várias cifras a partir de somas entre números de apenas uma cifra. Como, da tabela acima, sabemos todos os resultados possíveis de somas entre dois números de uma cifra do sistema ternário, podemos utilizá-la conjuntamente ao dispositivo de soma para computar somas mais complexas. Observe:

Consideremos a soma 64₁₀ + 48₁₀ = 112₁₀. Da seção Convertendo números inteiros podemos concluir que 64₁₀ = 02101₃ e 48₁₀ = 01210₃. Então, devemos computar a soma 02101₃ + 01210₃.

Daí temos o resultado: 11011₃ = 112₁₀.

Produto ternário

A tabela abaixo apresenta as regras para produtos ternários.

Multiplicando	Multiplicador	Produto	Carregamento	Resultado
0	0	0	0	00
0	1	0	0	00
0	2	0	0	00
1	1	1	0	01
1	2	2	0	02
2	2	1	1	11

Para efetuar produtos ternários podemos também utilizar o dispositivo de multiplicação convencionalmente utilizado para efetuar multiplicações decimais. Vejamos um exemplo.

Exemplo: (15)₁₀ × (11)₁₀ = (120)₃ × (102)₃

Resultado: (20010)₃ = (165)₁₀

Tabela de multiplicação

×	1	2	10	11	12	20	21	22	100
1	1	2	10	11	12	20	21	22	100
2	2	11	20	22	101	110	112	121	200
10	10	20	100	110	120	200	210	220	1000
11	11	22	110	121	202	220	1001	1012	1100
12	12	101	120	202	221	1010	1022	1111	1200
20	20	110	200	220	1010	1100	1120	1210	2000
21	21	112	210	1001	1022	1120	1211	2002	2100
22	22	121	220	1012	1111	1210	2002	2101	2200
100	100	200	1000	1100	1200	2000	2100	2200	10000

Observe que os produtos ternários que envolvem o número 10 coincidem com os produtos decimais. Isso significa que uma calculadora no sistema decimal, quando efetua multiplicações ou divisões por 10, retorna resultados válidos também para o sistema ternário. Por exemplo, 1/10 = 0,1 tanto no sistema decimal quanto no sistema ternário, já 1/2=0,5 no sistema decimal mas 1/2 = 0,111… no sistema ternário. Para dar um exemplo de produto, temos que 12 × 10 = 120 tanto no sistema decimal quanto no sistema ternário, mas 2 × 2 = 4 no sistema decimal enquanto 2 × 2 = 11 no sistema ternário. A lição que tiramos daí é que podemos utilizar a calculadora convencional para calcular produtos e divisões por potências de 10 (maiores que zero) de números ternários, mas não para a maioria dos demais casos.

×	1	2	10	11	12	20	21	22	100
1	1	2	10	11	12	20	21	22	100
2	2	11	20	22	101	110	112	121	200
10	10	20	100	110	120	200	210	220	1000
11	11	22	110	121	202	220	1001	1012	1100
12	12	101	120	202	221	1010	1022	1111	1200
20	20	110	200	220	1010	1100	1120	1210	2000
21	21	112	210	1001	1022	1120	1211	2002	2100
22	22	121	220	1012	1111	1210	2002	2101	2200
100	100	200	1000	1100	1200	2000	2100	2200	10000

Leituras complementares

[1] Ternary Digital System: Concepts and Applications , A. P. Dhande, V. T. Ingole & V. R. Ghiye.
[2] Third Base, by Brian Hayes