Algumas notas sobre o sistema numeral ternário e sua aritmética

Perhaps the prettiest number system of all is the balanced ternary notation.

Donald E. Knuth

Contando em ternário

Sabemos que, no sistema numérico decimal, contamos da seguinte maneira:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 …

O funcionamento do sistema de contagem ternário é similar ao do convencional sistema de contagem decimal. A diferença é que o sistema numérico ternário oferece apenas três cifras (0, 1 e 2), em contraste ao sistema decimal, que dispõe dez (0, 1, 2, … , 9). Vejamos como se configura uma contagem ternária:
1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100…

Números de 1 a 10 em ternário, binário e decimal:

Ternário12101112202122100101
Binário11011100101110111100010011010
Decimal12345678910

Potências de 3:

Ternário110100100010000
Decimal1392781
Potência3031323334

Convertendo números inteiros

No fundo, os sistemas numéricos são todos similares. Numerais em várias bases podem parecer diferentes, mas representam os mesmos números. Em notação decimal, o numeral 19 pode ser representado como: 

$$1×10^1+9×10^0$$

Na mesma linha, o número binário 10011 é entendido como: 

$$1×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0$$

Finalmente, podemos representar o número ternário, digamos, 201, como: 

$$2×3^2+0×3^1+1×3^0$$

Exemplo: 23710 para base 3.

237/3 = 79, r = 0

79/3 = 26, r = 1

26/3 = 8, r = 2

8/3 = 2r = 2

Resultado: 222103

Exemplo: 50010 para base 3.
500/3 = 166 , r = 2

166/3 = 55, r = 1

55/3 = 18, r = 1

18/3 = 6, r = 0

6/3 = 2r = 0

Resultado: 2001123

Exemplo: 48210 para base 3.

482/3 = 160 , r = 2

160/3 = 53, r = 1

53/3 = 17, r = 2

17/3 = 5 r = 2

5/3 = 1r = 2

Resultado: 1222123

Convertendo frações

O sistema ternário oferece uma maneira conveniente de representar 1/3, mas, em contraste, não oferece uma representação finita para 1/2, nem para 1/4, nem para 1/8… Isso ocorre pois o número 2 não é um fator primo da base (3).

Denominadores potências de 3

Quando uma fração irredutível p10/q10 tem denominador q10 que possa ser escrito na forma 3n, a divisão a3/b3, onde a3 e b3 são respectivamente as representações de p10 e q10 na base 3, pode ser computada numa calculadora decimal.

Exemplo: 

$$(\frac{1}{27})_{10} = (\frac{1}{3^3})_{10}$$

Convertendo o numerador e o denominador para base 3, obtemos 1/1000. Utilizando uma calculadora decimal para efetuar a divisão obtemos 1/1000=0,001. Portanto, 

$$(\frac{1}{27})_{10} = (0,001)_{3}.$$

Exemplo:

$$(\frac{482}{81})_{10} = (\frac{482}{3^4})_{10}$$

Convertendo o numerador e o denominador para base 3, obtemos 122212/10000. Utilizando uma calculadora decimal para efetuar a divisão obtemos 122212/10000=12,2212. Portanto, 

$$(\frac{482}{81})_{10}=(12,2212)_3.$$

Demais casos

Lembremo-nos, do sistema numérico decimal, que 5/8 = 0,625 significa dizer que 

$$\frac{5}{8}=6\frac{1}{10} + 2\frac{1}{100} + 5\frac{1}{1000}.$$

Assim, para converter uma fração a/b para o sistema ternário devemos determinar os coeficientes c1c2c3… tais que

$$\frac{a}{b}=c_{1}\frac{1}{3}+c_{2}\frac{1}{3^2} + c_{3}\frac{1}{3^3}+\dots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_n}{3^n}$$

Para determinar c1, multiplicamos a equação acima por 3, obtendo

$$\frac{3a}{b} = c_{1} + c_{2}\frac{1}{3} + c_{3}\frac{1}{3^2}+\dots$$

Podemos reescrever 3a como qb + r sendo q o quociente e r o resto da divisão de 3a por b. O quociente qb/b=q será igual a c1, enquanto r/b igual à parte fracionária da soma, i.e.,

$$\frac{r}{b} = c_{2}\frac{1}{3} + c_{3}\frac{1}{3^2}+\dots$$

Daí, podemos multiplicar a equação acima por 3 novamente e repetir o processo até que ele se dê por terminado ou inicie uma repetição infinita, configurando uma dízima periódica.

Exemplo: Computando 5/8 da base 10 para a base 3.

A representação na base 3 advém dos quocientes, então temos como resposta a representação 

$$0,\bar{12}_{3}$$

Aritmética ternária

A aritmética decimal não pode ser transportada diretamente para o universo ternário. Observe que 2 + 2 = 4 no sistema decimal, mas 2 + 2 = 11 no sistema ternário (410 = 113). É claro que 2 + 2 no sistema ternário nunca poderia ser 4, até porque não dispomos da cifra 4 no sistema numérico ternário. O mesmo vale para a multiplicação: 3 × 3 = 9 no sistema decimal, mas 3 × 3 = 100 no sistema ternário (910 = 1003). Como, então, somar e multiplicar números na base 3?

Adição ternária

As regras para a adição ternária podem ser conferidas na seguinte tabela:

AugendAddendSomaCarregamentoResultado
000000
011001
022002
112002
120110
221111

A tabela acima dispõe todas as somas possíveis entre as cifras existentes no sistema ternário (0, 1 e 2) e pode ser construída simplesmente por meio da contagem. Para resolver uma adição ternária podemos nos utilizar do mesmo dispositivo de soma longa utilizado convencionalmente no sistema decimal. A vantagem do dispositivo é viabilizar a computação de uma soma entre vários números compostos por várias cifras a partir de somas entre números de apenas uma cifra. Como, da tabela acima, sabemos todos os resultados possíveis de somas entre dois números de uma cifra do sistema ternário, podemos utilizá-la conjuntamente ao dispositivo de soma para computar somas mais complexas. Observe:

Consideremos a soma 6410 + 4810 = 11210. Da seção Convertendo números inteiros podemos concluir que 6410 = 021013 e 4810 = 012103. Então, devemos computar a soma 021013 + 012103.

Daí temos o resultado: 110113 = 11210.

Produto ternário

A tabela abaixo apresenta as regras para produtos ternários.

MultiplicandoMultiplicadorProdutoCarregamentoResultado
000000
010000
020000
111001
122002
221111

Para efetuar produtos ternários podemos também utilizar o dispositivo de multiplicação convencionalmente utilizado para efetuar multiplicações decimais. Vejamos um exemplo.

Exemplo: (15)10 × (11)10 = (120)3 × (102)3

Resultado: (20010)3 = (165)10

Tabela de multiplicação

×12101112202122100
112101112202122100
22112022101110112121200
1010201001101202002102201000
111122110121202220100110121100
12121011202022211010102211111200
202011020022010101100112012102000
2121112210100110221120121120022100
2222121220101211111210200221012200
10010020010001100120020002100220010000

Observe que os produtos ternários que envolvem o número 10 coincidem com os produtos decimais. Isso significa que uma calculadora no sistema decimal, quando efetua multiplicações ou divisões por 10, retorna resultados válidos também para o sistema ternário. Por exemplo, 1/10 = 0,1 tanto no sistema decimal quanto no sistema ternário, já 1/2=0,5 no sistema decimal mas 1/2 = 0,111… no sistema ternário. Para dar um exemplo de produto, temos que 12 × 10 = 120 tanto no sistema decimal quanto no sistema ternário, mas 2 × 2 = 4 no sistema decimal enquanto 2 × 2 = 11 no sistema ternário. A lição que tiramos daí é que podemos utilizar a calculadora convencional para calcular produtos e divisões por potências de 10 (maiores que zero) de números ternários, mas não para a maioria dos demais casos.

×12101112202122100
112101112202122100
22112022101110112121200
1010201001101202002102201000
111122110121202220100110121100
12121011202022211010102211111200
202011020022010101100112012102000
2121112210100110221120121120022100
2222121220101211111210200221012200
10010020010001100120020002100220010000

Leituras complementares

[1] Ternary Digital System: Concepts and Applications , A. P. Dhande, V. T. Ingole & V. R. Ghiye.
[2] Third Base, by Brian Hayes

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